삼각함수~

 삼각비의 정의를 알아봅시다.

 x 와 r 이 이루는 각을 θ(세타) 라고 합시다. (모르고 그림에서 빼먹었음...)

높이

 sinθ 의 정의는 ----- 이다. (y/r) [사인]

빗변

밑변

 cosθ 의 정의는 ----- 이다. (x/r) [코사인]

빗변

밑변

tanθ 의 정의는  ----- 이다.(y/x) [탄젠트]

빗변

 이게 삼각비의 정의입니다.

(단위원은 반지름의 길이가 1인 원)

(단위란 말은 대게 1을 의미함. 단위행렬도 실수에서의 1과 비슷한 역할을 함)

 이제 좌표평면상에서, 단위원을 그린 다음에 반지름 r에서 x에 수선을 내린다.

 그럼 빗변이 r인 직각삼각형이 생기는데, 여기서도 x랑 r이 이루는 각을 θ 라고 합시다. (또 빼먹었다..)

 이 그림을 보고 sinθ 가 뭐분의 뭐인지 알아야합니다.

 뭔지 모르겠다면, 위로 올라가서 삼각비 복습을 하고 오시길...

1. 삼각함수의 공식을 쉽게 외우기 위한 기초적인 삼각함수 공식.

 tanθ = sinθ/cosθ

 sin²θ+cos²θ=1

 (1) tanθ=sinθ/cosθ 증명하기.

 위에서 tanθ 의 정의를 다시 되새겨봅시다.

 밑변분의 높이다. 즉, 저 위 단위원 그림에서는 y/x 다.

 sinθ 는 y/r 이며, cosθ 는 x/r 다.

 뭔가 보이나요?

 y/x 의 분자랑 분모를 r로 나눠줍니다. (분모와 분자를 똑같이 변화시키는것이기 때문에 값에는 변화가 없습니다.)

 그럼 y/r/x/r 이 됩니다.

 어디선가 보이던게 있죠?

 sinθ=y/r, cosθ=x/r

 그러므로 위 식은 sinθ/cosθ 가 됩니다.

 (2) sin²θ+cos²θ=1 증명하기.

 이제 빨리빨리 넘어갑니다. 따라오실수 있겠죠?

 sinθ=y/r, cosθ=x/r.

 sin²θ=y²/r²

 cos²θ=x²/r²

 이제 두 식을 더합니다.

 A : x²+y²/r²

 그런데, 위 단위원을 보면... r이 빗변인 직각삼각형이 보이죠?

 피타고라스 정리를 이용하면, x²+y²=r² 이란 식이 나옵니다.

 이 식을 A식에 대입하면

 r²/r² = 1

 그러므로 sin²θ+cos²θ=1 이라는 식이 유도됩니다.

 이정도는 증명과정을 이해하시면 충분히 쉽게 외울수 있습니다.

 그리고 sin²θ+cos²θ=1 으로부터 새로운 식을 얻어낼수 있습니다.

 cos²θ=1-sin²θ

 sin²θ=1-cos²θ      (이항)

 식을 간단히 하는데 많이 쓰입니다.

 2. 삼각함수의 역수랑 새로운 삼각함수 공식

 (1) 역수

 cosecθ =1/sinθ  [코시컨트]  (줄여서 csc 라고 쓰기도 합니다)

 secθ =1/cosθ  [시컨트]

 cotθ =1/tanθ=cosθ/sinθ  [코탄젠트]

 못외우시는 분들이 꽤 많은지 이걸 쉽게 외우는 방법이 있더라구요.

 { 코가 있으면 가만히, 코가 없으면 코를 붙인다. }

  이걸 써먹으려면 코떼고 코붙일때 sec 라는 함수에 붙이고 떼는걸 외워야겠죠?

 ! arcsin 이랑 cosecθ 랑 헷갈리지 맙시다.

   arcsin은 sin^-1 로써, 사인의 역함수입니다.

   cosecθ 는 정의 그대로 역수일뿐입니다.

   역함수와 역수를 혼동하셔서 arcsin 이랑 cosecθ 를 헷갈리는 일이 없도록...

 (2) 새로운 삼각함수 공식

 삼각함수의 공식은 sin²θ+cos²θ=1 로 부터 유도됩니다.

 1+cot²θ=csc²θ , 1+tan²θ=sec²θ

 1+cot²θ=csc²θ

 - sin²θ+cos²θ=1 의 양변을 sin²θ 으로 나누면 저 식이 유도됩니다.

 1+tan²θ=sec²θ

 - sin²θ+cos²θ=1 의 양변을 cos²θ 으로 나누면 저 식이 유도됩니다.

 3. 사인법칙과 제1코사인법칙, 제2코사인법칙, 헤론의 공식, 삼각형의 넓이 공식

 이 공식들은 증명하지 않겠다.

 증명하는데 말이 길어지기 때문...

 궁금하시다면 직접 네이버에 '사인법칙 증명' 을 쳐보시길.

 (1) 사인법칙

 삼각형 (직각삼각형이 아니어도 됨) ABC가 있다.

 각A의 대변을 a라고 하고, 각B의 대변을 b, 각C의 대변을 c 라고 두고, 삼각형에 외접하는 외접원의 반지름을 R이라고 하면

 a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R  이란 등식이 성립한다.

 |쉽게 외우는 방법|

 - 삼각형 ABC가 있을때 사인θ분의 각θ의 대변은 반지름의 두배와 같다. 로 외우시면 됩니다.

 (2) 제1코사인법칙

 마찬가지로, 삼각형 ABC가 있을때 (직각삼각형이 아니어도 됨)

 각A의 대변을 a, 각B의 대변 b, 각C의 대변 c 라고 할때...

 a=b(cosC)+c(cosB) 가 성립한다.

 - 위와 같은 조건일때, 알고싶은 대변을 하나 써준다.

 그리고 남은 두 대변을 우변에 써주고 더하기로 연결한다.

 그리고 각각에게 cos(다른 대변의 대각) 을 곱해주면 된다.

 ex) b를 알고싶다. 그럼 a와 c를 우변에 써준다

 b=a+c (덧셈으로 연결)

 b=a(cosC)+c(cosA) (각각에게 서로 다른 대변의 대각에 코사인을 씌우고 곱해준다)

      그럼 서로 대변과 대각끼리 대칭이 된다.

 (3) 제2코사인법칙

 위와 조건은 동일하다.

 a²=b²+c²-2bc(cosA)

 -위와 같은 조건일때, 한변의 제곱은 다른 두변의 제곱을 더한 뒤에 다른 두변의 곱과 한변의 대각에 코사인을 씌운 값의 곱을 뺀다.

 말이 너무 길어서 저걸 외우냐고 물으실수도 있겠지만, 규칙을 찾으면 됩니다.

 1²=2²+3²-2*2*3(cos1)

 그리고 이 식은 이렇게 정리가 가능합니다.

 cosA=b²+c²-a²/2bc

 (4) 헤론의 공식 (삼각비의 넓이를 쉽게 구하는 공식)

 위와 조건은 동일하지만, 삼각비는 들어가지 않습니다.

 s= a+b+c/2 일때,

 삼각형의 넓이는 √s(s-a)(s-b)(s-c)

 -루트를 씌우고 a+b+c/2 값을 구하고 그 값을 s라고 둔 다음,

 s에서 각 변을 하나씩 빼고 모두 곱합니다. 그리고 그 값에 또 s를 곱합니다.

 이제 정리만 해주면 끝납니다.

 (삼각형의 변이 3,4,5 일때의 넓이를 헤론의 공식으로 구해보자.

 s=6. √6(6-3)(6-4)(6-5)

 곱하기 전에 정리를 해주고 곱하면...

 √6*3*2*1

 √36=6

 실제로, 저 변의 순서쌍은 피타고라스 순서쌍이기 때문에

 밑변=3 or 4

 높이=4 or 3

둘을 곱하면 12. 그리고 2로 나눠주면 6.

삼각형의 넓이를 구할때 꼭 직각삼각형만 나오는건 아니므로, 헤론의 공식을 적절히 써먹으면 아주 유용하다)

 (5) 삼각형의 넓이 공식

 1/2(bc{cosA})

  1

 ㅡ bc * cosA     =    S (넓이)

  2